ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79617
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если сумма косинусов углов четырёхугольника равна нулю, то он — параллелограмм, трапеция или вписанный четырёхугольник.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть α, β, γ, δ — углы четырёхугольника. Тогда

0 = cos α + cos β + cos γ + cos δ = 2 cos$\displaystyle {\frac{\alpha+\beta}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\alpha-\beta}{2}}$ + 2 cos$\displaystyle {\frac{\gamma+\delta}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\gamma-\delta}{2}}$.
Так как α + β + γ + δ = 2π, то cos$ {\frac{\alpha+\beta}{2}}$ = − cos$ {\frac{\gamma+\delta}{2}}$. Следовательно,
\begin{multline*}
0=\cos\frac{\alpha+\beta}2\left(\cos\frac{\alpha-\beta}2-\cos...
...lpha+\beta}2\cos\frac{\alpha+\gamma}2\cos\frac{\alpha+\delta}2.
\end{multline*}
Следовательно,
Следовательно, сумма каких-то двух углов четырёхугольника равна π. Если это два соседних угла, то данный четырёхугольник — трапеция или параллелограмм, а если это два противоположных угла, то данный четырёхугольники вписанный.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 55
Год 1992
вариант
Класс 10
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .