Задача 86495

Темы:    [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

Какое наибольшее количество прямоугольников 4*1 можно разместить в квадрате 6*6 (не нарушая границ клеток)?

Решение

Один из примеров расположения — см. рис. 1

Для доказательства того, что невозможно расположить больше, раскрасим квадрат в четыре цвета так, чтобы любой прямоугольник располагался на четырех клетках, закрашенных в различные цвета (см. рис. 2). Клеток, имеющих цвет N 4 будет только 8, поэтому и прямоугольников можно разместить не более восьми.

Другой вариант доказательства — раскраска квадрата в два цвета (см. рис. 3). При такой раскраске любой прямоугольник располагается на двух черных и двух белых клетках. Но, при такой раскраске, черных клеток — 20, а светлых — только 16, поэтому больше восьми прямоугольников в данном квадрате расположить невозможно.

Рис. 1            Рис. 2            Рис. 3

Ответ

8.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2000/01
класс
Класс	7
задача
Номер	4.3