|
|
 |
Условие
F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна 1/n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)
Решение
Заткнём "дырки" в графике вертикальными отрезками (соединив в точке разрыва предел слева и предел справа). Если теперь поменять местами оси координат, получится график непрерывной неубывающей функция. Поэтому можно считать, что исходная функция непрерывна. По тем же причинам можно считать, что её график содержит точки (0, 0) и (1, 1).
Пусть Ak (k = 0, 1, ..., N) – точка пересечения графика с прямой x + y = 2k/n. Участок графика между Ak и Ak+1 покрывается прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат, (невырожденным с диагональю AkAk+1 или вырожденным – отрезком AkAk+1) периметра 4/n, то есть площади не большей 1/n². Увеличив каждый прямоугольник до площади 1/n², получим требуемое покрытие.
Замечания
1. 9 баллов (в подготовительном варианте, где дополнительно предполагалась непрерывность функции F, 8 баллов).
2. Ср. с задачей М884 из Задачника "Кванта".
