ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97949
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Числа Фибоначчи ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Доказать, что существует бесконечно много таких пар  (a, b)  натуральных чисел, что  a² + 1  делится на b, а  b² + 1  делится на a.


Решение 1

Заметим, что если  a < b,  a² + 1 = cb,  b² + 1 = da,  (a, b) = 1,  то     кратно b. Значит, из "хорошей" пары  (a, b)  можно получить новую хорошую пару  (b, d),  причём  b < d,  (b, d) = 1.  В качестве первой пары можно взять  (1, 2).


Решение 2

Для знатоков. Используем известное свойство чисел Фибоначчи:      Подставляя  Fn+1 = Fn+2Fn,  получим     Отсюда видно, что при нечётном n пара  (Fn, Fn+2)  удовлетворяет условию.

Замечания

1. Решение 1 приводит к тем же числам Фибоначчи.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 9
Дата 1987/1988
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .