Задача 98316

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Произволов В.В.

Окружность пересекает каждую сторону ромба в двух точках и делит её на три отрезка. Обойдём контур ромба, начав с какой-нибудь вершины, по часовой стрелке, и покрасим три отрезка каждой стороны последовательно в красный, белый и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.

Решение 1

  Пусть угол при вершине A ромба ABCD – не тупой. Обозначим длины красных, белых и синих отрезков (в порядке обхода  A → B → C → D → A)  r₁, w₁, b₁, r₂, ..., b₄.  Опустим из центра O окружности перпендикуляры OK, OL, OM и ON на стороны AB, BC, CD и DA соответственно (см. рис.).

  Эти перпендикуляры разделят белые отрезки пополам. Поэтому  AK = r₁ + ½ w₁,  KB = b₁ + ½ w₁  и т. д. Теперь достаточно доказать, что
AK + BL + CM + DN = KB + LC + MD + NA.
   На самом деле, верны даже равенства  AK + CM = LC + NA  и  BL + DN = KB + MD.  Докажем, например, первое из них. Для этого опустим еще перпендикуляры CP и CQ на прямые AB и AD.  CP = CQ  в силу симметрии ромба относительно диагонали AC. KPCM – параллелограмм (даже прямоугольник), значит,  KP = CM  и  AK + CM = AP.  Аналогично  LC + NA = AQ,  то есть  LC + NA = AQ = AP = AK + CM.

Решение 2

  Пусть d – длина стороны ромба. По теореме о секущей  r₁(d – b₁) = b₄(d – r₄),  r₂(d – b₂) = b₁(d – r₁),  и т. д. Сложив эти 4 соотношения, получим
(r₁ + r₂ + r₃ + r₄)d – (r₁b₁ + ... + r₄b₄) = (b₁ + ... + b₄)d – (r₁b₁ + ... + r₄b₄).  Следовательно,  r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4