ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98454
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Несколько последовательных натуральных чисел выписали в строку в таком порядке, что сумма каждых трёх подряд идущих чисел делится нацело на самое левое число этой тройки. Какое максимальное количество чисел могло быть выписано, если последнее число строки нёчётно?


Решение

  Заметим, что если в тройке подряд стоящих чисел левое число чётно, то и сумма чисел этой тройки чётна. Значит, после каждого чётного числа в строке должны стоять два числа одной чётности. В частности, если два чётных числа стоят подряд, то все следующие за ними числа – чётные. Но это противоречит условию. Поэтому после каждого чётного числа (кроме, может быть, самого последнего) в строке стоят два нечётных. Следовательно, чётных чисел не более двух (в противном случае количество нечётных чисел было бы по крайней мере на 2 больше, чем количество чётных, что для последовательных чисел невозможно). Поэтому всех чисел не более пяти.
  Пять чисел выписать можно, например: 2, 1, 3, 4, 5.

Ответ

5 чисел.

Замечания

1. 3 балла.

2. Ср. с задачей 98460.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .