Задача 98509

Темы:    [ Неравенства с медианами ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

В треугольнике одна из средних линий больше одной из медиан. Докажите, что этот треугольник – тупоугольный.

Решение

  Пусть M и N – соответственно середины сторон AB и BC треугольника ABC и MN – указанная средняя линия. Разбёрем два случая.
  1)  MN > AN.  Тогда из треугольника MNA получаем, что  ∠MAN > ∠AMN,  откуда  ∠AMN < 90°,  а значит,  ∠BAC = 180° – ∠AMN > 90°.
  2)  MN > BK,  где K – середина AC. Рассмотрим окружность с центром К и радиусом КА. Точка В лежит внутри окружности, поэтому угол В – тупой.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2000/2001
Номер	22
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2