ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98532
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD на боковой стороне AB дана точка K. Через точку A провели прямую l, параллельную прямой KC, а через точку B – прямую m, параллельную прямой KD. Докажите, что точка пересечения прямых l и m лежит на стороне CD.


Решение

Пусть O – точка пересечения боковых сторон трапеции, а L – точка пересечения прямой l со стороной CD. По теореме Фалеса  OL : OC = OA : OK,
OC
: OD = OB : OA.  Перемножая равенства, получаем  OL : OD = OB : OK.  По обратной теореме Фалеса  BL || KD,  то есть точка L лежит на прямой m.

Замечания

1. Здесь фактически доказан один из вырожденных случаев теоремы Паппа.

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .