ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98607
Темы:    [ Последовательности (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В последовательности натуральных чисел каждое число, кроме первого, получается прибавлением к предыдущему самой большой его цифры.
Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности могут быть нечётными?


Решение

  Пусть a1, ..., a5 – последовательные нечётные члены последовательности. Последние цифры этих чисел нечётны, а наибольшие цифры чисел a1, ..., a4 – чётны и, поэтому, не последние. При переходе к следующему числу наибольшая цифра предыдущего не меняется (в противном случае она увеличится на 1 и станет нечётной), то есть a1, ..., a5 – арифметическая прогрессия, разность которой – чётная ненулевая цифра d. Числа 0, d, 2d, 3d, 4d оканчиваются разными цифрами (поскольку дают разные остатки от деления на 5). Прибавляя к этим числам a1, видим, что и a1, ..., a5 оканчиваются разными цифрами. Значит, одно из чисел оканчивается на 9. Но это может быть только a5, и, значит, следущий член последовательности – чётное число.
  Пять нечётных членов подряд встречаются, например, в последовательности: 807, 815, 823, 831, 839.


Ответ

5 членов.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .