Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 118]
Докажите, что для любого натурального числа n > 1 найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что a + b = c + d = ab – cd = 4n.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов x² + ax + b и x² + bx + a имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки
0. Длина первого прыжка равна 3, второго – 5, третьего – 9,
и так далее (длина k-го прыжка равна 2k + 1). Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в каждой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
На доске написаны n > 3 различных натуральных чисел, меньших чем (n – 1)!. Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил 100 = 14·7 + 2 и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 118]
Все авторы
>>
Берлов С.Л. 
