Страница: 1 [Всего задач: 3]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN, BCKL, ACPQ. На отрезках NQ и PK построены квадраты NQZT и PKXY. Разность площадей квадратов ABMN и BCKL равна d. Найдите разность площадей квадратов NQZT и PKXY
а) в случае, если угол ABC прямой,
б) в общем случае.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Назовём крокодилом шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на m клеток по вертикали или по горизонтали, и потом на n клеток в перпендикулярном направлении. Докажите что для любых m и n можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в два цвета (для каждых конкретных m и n своя раскраска), что каждые две клетки, соединённые одним ходом крокодила, будут покрашены в разные цвета.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
В соревнованиях по n-борью участвуют 2n человек. Для
каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования
проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде
программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина
принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг,
и т.д., пока в n-м виде программы не будет определен победитель. Назовем
спортсмена возможным победителем, если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.
а) Докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является возможными победителями.
б) Докажите, что число возможных победителей не превосходит 2n – n.
в) Докажите, что может так случиться, что возможных
победителей ровно 2n – n.
Страница: 1 [Всего задач: 3]
Все авторы
>>
Герко А.А. 
