Все авторы
>>
Рабинович Ю. 
Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Точка $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина $BC$. Прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AI$, пересекает окружность с диаметром $BC$ в точках $E$ и $F$ (точки $A$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$). Прямая, проходящая через $E$ и перпендикулярная $FI$, пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите угол $PIQ$.
Дано натуральное число n > 6. Рассматриваются натуральные числа, лежащие в промежутке (n(n – 1), n²) и взаимно простые с n(n – 1).
Докажите, что наибольший общий делитель всех таких чисел равен 1.
В соревнованиях по n-борью участвуют 2n человек. Для
каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования
проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде
программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина
принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг,
и т.д., пока в n-м виде программы не будет определен победитель. Назовем
спортсмена возможным победителем, если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.
а) Докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является возможными победителями.
б) Докажите, что число возможных победителей не превосходит 2n – n.
в) Докажите, что может так случиться, что возможных
победителей ровно 2n – n.
На складах двух магазинов хранится пшено: на первом складе на 16 тонн больше, чем на втором. Каждую ночь ровно в полночь владелец каждого магазина ворует у своего конкурента четверть имеющегося на его складе пшена и перетаскивает на свой склад. Через 10 ночей воришек поймали. На каком складе в момент их поимки было больше пшена и на сколько?
На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол 2πk/n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)
На клетчатую плоскость положили 2009 одинаковых квадратов, стороны которых идут по сторонам клеток. Затем отметили все клетки, которые покрыты нечётным числом квадратов. Докажите, что отмеченных клеток не меньше, чем клеток в одном квадрате.
Все задачи автора Страница: 1 [Всего задач: 1]
Задача 116260 |
|
|
На клетчатую плоскость положили 2009 одинаковых квадратов, стороны которых идут по сторонам клеток. Затем отметили все клетки, которые покрыты нечётным числом квадратов. Докажите, что отмеченных клеток не меньше, чем клеток в одном квадрате.
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 1]
