Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.

   Решение

В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

В гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места k получают баллы a_k (числа a_k натуральны, и  a₁ > a₂ > ... > a_n).  При каком наименьшем n устроитель турнира может выбрать числа a₁, ..., a_n так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.

Прислать комментарий

Решение

В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?

Прислать комментарий

Решение

Последовательность (a_n) задана условиями a₁= 1000000 , a_n+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

Прислать комментарий

Решение

300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ – натуральные числа,  a₁ < a₂ < ... < a₁₀.  Пусть b_k – наибольший делитель a_k, меньший a_k. Оказалось, что b₁ > b₂ > ... > b₁₀.
Докажите, что  a₁₀ > 500.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]