Версия для печати
Убрать все задачи

---

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

   Решение

---

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.
  а) Докажите, что  α_n < ³/₁₆  для некоторого n .
  б) Может ли случиться, что  α_n > ⁷/₄₀  при всех натуральных n?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30815  (#037)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Раскраски ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Каждое из рёбер полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30816  (#038)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Раскраски ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8

Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30817  (#039)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Раскраски ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4 Классы: 7,8

Каждое из рёбер полного графа с 9 вершинами покрашено в синий или красный цвет.
Докажите, что либо есть четыре вершины, все рёбра между которыми – синие, либо есть три вершины, все рёбра между которыми – красные.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30818  (#040)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Раскраски ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Каждое из рёбер полного графа с 18 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть четыре вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30819  (#041)

Тема:   [ Ориентированные графы ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер, соединённых между собой реками. Из каждого озера вытекают три реки, и в каждое озеро впадают четыре реки. Докажите, что он ошибается.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями