ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина >> I Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2005 г.)
классы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Окружности  $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ и $ \delta$ касаются данной окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть  t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$ — длина общей касательной к окружностям $ \alpha$ и $ \beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$, t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ и т. д. определяются аналогично. Докажите, что  t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ + t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \delta$$\scriptstyle \alpha$ = t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \delta$ (обобщенная теорема Птолемея).

Вниз   Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

Можно ли числа 1, 2, ..., 10 расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалось от предыдущего на целое число процентов?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 41]      

  с решениями  

Задача 103941

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Применение проективных преобразований, сохраняющих сферу ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается его граней в точках A', B', C', D'. Отрезки AA' и BB' пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки CC' и DD' тоже пересекаются на вписанной сфере.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 41]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .