Туры:
-
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
устный тур
(6 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]
Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое, которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и зелёное числа лежат между красными?
Пусть X – некоторое множество целых чисел, которое можно разбить на
N непересекающихся возрастающих арифметических прогрессий (бесконечных в обе стороны), а меньше чем на N – нельзя. Для любого ли такого X такое разбиение на
N прогрессий единственно, если а) N = 2; б) N = 3?
Назовём рассадку $N$ кузнечиков на прямой в различные её точки $k$-удачной, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в $k$ раз. При каких $N\geqslant2$ существует рассадка, являющаяся $k$-удачной сразу для всех натуральных $k$? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)
В ряд слева направо стоят $N$ коробок, занумерованных подряд числами $1$, $2, \ldots, N$.
В некоторые коробки, стоящие подряд, положат по шарику, оставив остальные пустыми.
Инструкция состоит из последовательно выполняемых команд вида «поменять местами содержимое коробок № $i$ и № $j$», где $i$ и $j$ – числа. Для каждого ли $N$ существует инструкция, в которой не больше $100N$ команд, со свойством: для любой начальной раскладки указанного вида можно будет, вычеркнув из инструкции некоторые команды, получить инструкцию, после выполнения которой все коробки с шариками будут левее коробок без шариков?
Известно, что среди нескольких купюр, номиналы которых – попарно различные натуральные числа, есть ровно $N$ фальшивых. Детектор за одну проверку определяет сумму номиналов всех настоящих купюр, входящих в выбранный нами набор. Докажите, что за $N$ проверок можно найти все фальшивые купюры, если а) $N = 2$; б) $N = 3$.
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]
Задача 67268 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67269 |
|
|
(Возрастающая арифметическая прогрессия – это последовательность, в которой каждое число больше своего соседа слева на одну и ту же положительную величину.)
|
|
|
Решение |
Задача 67298 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67299 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67158 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]
