Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.
Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом.
После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так,
чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?
Числа a, b, c таковы, что a²(b + c) = b²(a + c) = 2008 и a ≠ b. Найдите значение выражения c²(a + b).
Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?
Докажите, что при
n 1 и
m
0 выполняется равенство
Попробуйте доказать его двумя способами: при помощи метода математической индукции и при помощи интерпретации чисел Фибоначчи из задачи 3.109. Докажите также, что тождество Кассини (см. задачу 3.112) является частным случаем этого равенства.
Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами.
Верно ли, что её двадцатый член также является натуральным числом?
Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2007 делится 2007!
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 109451 |
|
|
Сторону АВ треугольника АВС продолжили за вершину В и выбрали на луче АВ точку А1 так, что точка В – середина отрезка АА1 . Сторону ВС продолжили за вершину С и отметили на продолжении точку В1 так, что С – середина ВВ1 . Аналогично, продолжили сторону СА за вершину А и отметили на продолжении точку С1 так, что А – середина СС1 . Найдите площадь треугольника А1В1С1 , если площадь треугольника АВС равна1.
|
|
Решение |
Задача 109450 |
|
|
Может ли вершина параболы у = 4х² – 4(а + 1)х + а лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?
|
|
|
Решение |
Задача 109452 |
|
|
Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2007 делится 2007!
|
|
Решение |
Задача 109454 |
|
|
В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?
|
|
|
Решение |
Задача 109455 |
|
|
Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом.
После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так,
чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
