Этапы:
-
Региональный этап
(23 задачи)
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.
Решение
Решение
Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010. Решение
Убрать все задачи
Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.
РешениеЧисла от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
РешениеНатуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE
и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в
точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M
и N лежат на одной окружности.
Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
Существуют ли три попарно различных ненулевых целых
числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых
степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 115359 (#06.4.10.3) |
|
|
|
Решение |
Задача 115360 (#06.4.10.4) |
|
|
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
|
|
|
Решение |
Задача 115361 (#06.4.10.5) |
|
|
Ненулевые числа a, b, c таковы, что ax² + bx + c > cx при любом x. Докажите, что cx² – bx + a > cx – b при любом x.
|
|
|
Решение |
Задача 115362 (#06.4.10.6) |
|
|
Прямые, касающиеся окружности ω в точках B и D, пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через P, высекает на окружности хорду AC. Через точку отрезка AC проведена прямая, параллельная BD. Докажите, что она делит длины ломаных ABC и ADC в одинаковых отношениях.
|
|
|
Решение |
Задача 115363 (#06.4.10.7) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
