Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{3}$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac{1}{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.

   Решение

---

Докажите, что  27Rr 2p² 27R²/2.

   Решение

---

Докажите, что  + + 3.

   Решение

---

Докажите, что число 40...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с 1).

   Решение

---

Про группу из пяти человек известно, что:

   Алеша на 1 год старше Алексеева,
   Боря на 2 года старше Борисова,
   Вася на 3 года старше Васильева,
   Гриша на 4 года старше Григорьева,
   а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.

Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116817

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Про группу из пяти человек известно, что:

   Алеша на 1 год старше Алексеева,
   Боря на 2 года старше Борисова,
   Вася на 3 года старше Васильева,
   Гриша на 4 года старше Григорьева,
   а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.

Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116576

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116577

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нём в любом месте цифру 1.
Из любого ли натурального числа A при помощи таких операций можно получить число A + 1?
(Если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116683

Тема:   [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116818

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Пусть C(n) – количество различных простых делителей числа n. (Например,  C(10) = 2,  C(11) = 1,  C(12) = 2.)
Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (a, b),  что  a ≠ b  и  C(a + b) = C(a) + C(b)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями