Каталог по источникам

Выбрано 5 задач

Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

Решение

Автор: Bong-Gyun Koh

Петя увидел на доске несколько различных чисел и решил составить выражение, среди значений которого все эти числа есть, а других нет. Составляя выражение, Петя может использовать какие угодно числа, особый знак "±", а также обычные знаки "+", "–", "×" и скобки. Значения составленного выражения он вычисляет, выбирая для каждого знака "±" либо "+", либо "–" во всех возможных комбинациях. Например, если на доске были числа 4 и 6, подойдёт выражение 5 ± 1, а если на доске были числа 1, 2 и 3, то подойдёт выражение (2 ± 0,5) ± 0,5. Возможно ли составить необходимое выражение, если на доске были написаны
а) числа 1, 2, 4;
б) любые 100 различных действительных чисел?

Решение

Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC параллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L.
Докажите, что прямая KL делит отрезок OA пополам.

Решение

На продолжениях сторон DA, AB, BC, CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки A₁, B₁, C₁, D₁ так, что $\overrightarrow{DA_1}$ = 2 $\overrightarrow{DA}$ , $\overrightarrow{AB_1}$ = 2 $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC_1}$ = 2 $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CD_1}$ = 2 $\overrightarrow{CD}$ . Найдите площадь получившегося четырехугольника A₁B₁C₁D₁, если известно, что площадь четырехугольника ABCD равна S.

Решение

Автор: Фольклор

Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).
Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Решение

Задача 116990