Каталог по источникам

Выбрано 13 задач

Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение

Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник - нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов - это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше - очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.

Решение

Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.

Решение

Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 × 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение

Докажите неравенство для натуральных n > 1:

Решение

Автор: Шарыгин И.Ф.

D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

Решение

Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

Решение

Дан выпуклый четырехугольник ABCD; A₁, B₁, C₁ и D₁ — центры описанных окружностей треугольников BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника A₁B₁C₁D₁ определяются точки A₂, B₂, C₂ и D₂. Докажите, что четырехугольники ABCD и A₂B₂C₂D₂ подобны, причем коэффициент их подобия равен |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.

Решение

Пусть {p_n} – последовательность простых чисел (p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, ...).
а) Докажите, что p_n > 2n при n ≥ 5.
б) При каких n будет выполняться неравенство p_n > 3n?

Решение

Король стоит на поле a1. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, или на одно поле вверх, или на одно поле по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h8.

Решение

В коробке лежит 300 спичек. За ход разрешается взять из коробка не более половины имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение

Ферзь стоит на поле c1. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит ферзя на поле h8.

Решение

Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.

Решение

Задача 30453 (#021)

Задача 30454 (#022)

Задача 30455 (#023)

Задача 30456 (#024)

Задача 30457 (#025)