ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки >> глава 8. Игры
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Левин А.

Города A , B , C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше, чем расстояние от D до A , а расстояние от C до B меньше, чем расстояние от D до B . Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B , меньше, чем расстояние от D до этой точки.

Вниз   Решение

Окружности  $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ и $ \delta$ касаются данной окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть  t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$ — длина общей касательной к окружностям $ \alpha$ и $ \beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$, t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ и т. д. определяются аналогично. Докажите, что  t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ + t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \delta$$\scriptstyle \alpha$ = t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \delta$ (обобщенная теорема Птолемея).

ВверхВниз   Решение

Имеются две кучки конфет: в одной - 20, в другой - 21. За ход нужно съесть одну из кучек, а вторую разделить на две не обязательно равных кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      

  с решениями  

Задача 30453  (#021)

Тема:   [ Симметричная стратегия ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник - нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов - это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше - очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30454  (#022)

Тема:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30455  (#023)

Тема:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Король стоит на поле a1. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, или на одно поле вверх, или на одно поле по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h8.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30456  (#024)

Тема:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Имеются две кучки конфет: в одной - 20, в другой - 21. За ход нужно съесть одну из кучек, а вторую разделить на две не обязательно равных кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30457  (#025)

Тема:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

На концах клетчатой полоски 1 × 20 стоит по шашке. За ход разрешается сдвинуть любую шашку в направлении другой на одну или на две клетки. Перепрыгивать шашкой через шашку нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .