Каталог по источникам

Выбрано 6 задач

Вычислить с шестьюдесятью десятичными знаками (60 девяток).

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁ и B₁, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

R = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$ .

Докажите, что:
а) точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).

Решение

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL, перпендикулярная XO (точки K и L лежат на прямых AB и AC). Докажите, что KX = XL.

Решение

Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Решение

В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин — гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость полицейского вдвое меньше максимальной скорости гангстера. Доказать, что полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером.

Решение

Рота состоит из трёх офицеров, шести сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых?

Решение

Задача 30693 (#007)

Задача 30694 (#008)

Задача 30695 (#009)

Задача 30696 (#010)

Задача 30697 (#011)