Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
В параллелограмме ABCD диагональ AC больше
диагонали BD; M — такая точка диагонали AC, что
четырехугольник BCDM вписанный. Докажите, что прямая BD
является общей касательной к описанным окружностям
треугольников ABM и ADM.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: a²(1 + b4) + b²(1 + a4) ≤ (1 + a4)(1 + b4).
Через каждую вершину треугольника проведены
две прямые, делящие противоположную сторону треугольника
на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие
противоположные вершины шестиугольника, образованного
этими прямыми, пересекаются в одной точке.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: a³b + b³c + c³a ≥ abc(a + b + c).
На продолжении хорды KL окружности с центром O
взята точка A, и из нее проведены касательные AP и AQ; M — середина отрезка PQ. Докажите, что
MKO =
MLO.
Докажите неравенство 3(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≥ (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3) при a1 ≥ a2 ≥ a3, b1 ≥ b2 ≥ b3.
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.
Восстановите треугольник ABC по вершине B, центру тяжести и точке пересечения L симедианы, проведённой из вершины B, с описанной окружностью.
Пусть $I$ – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что существует единственная пара точек $M$, $N$, лежащих соответственно на сторонах $AC$, $BC$, такая, что $\angle AIM = \angle BIN$ и $MN \parallel AB$.
(Продолжение задачи 32796)
Стоя в углу, Клайв разобрал свои наручные часы, чтобы посмотреть, как они устроены. Собирая их обратно, он произвольно надел часовую и минутную стрелки. Сможет ли он так повернуть циферблат, чтобы хоть раз в сутки часы показывали правильное время (часы при этом еще не заведены)?
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_1, BH_2, CH_3$, которые пересекаются в ортоцентре $H$. Точки $P$ и $Q$ симметричны $H_2$ и $H_3$ относительно $H$. Описанная окружность треугольника $PH_1Q$ пересекает во второй раз высоты $BH_2$ и $CH_3$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что $RS$ – средняя линия треугольника $ABC$.
На Солнечном острове живет 20 белых и 25 чёрных хамелеонов (хамелеоны – это животные, умеющие менять свой цвет). При встрече оба хамелеона меняют свой цвет на противоположный. Могут ли все хамелеоны окраситься в один цвет?
На каждой стороне четырехугольника ABCD взято по две
точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если
все пять заштрихованных четырехугольников описанные,
то четырехугольник ABCD тоже описанный.
Докажите, что граф, имеющий пять вершин, каждая из которых соединена ребром со всеми остальными, не является плоским.
Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 188]
Задача 104051 |
|
|
Купец продаёт двух коней с сёдлами, причём цена одного седла 120 рублей, а другого – 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого с дешёвым, а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешёвым. Какова цена каждого коня?
|
|
Решение |
Задача 104117 |
|
|
В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики.
|
|
|
Решение |
Задача 105193 |
|
|
Раскрасьте рисунок в четыре цвета так, чтобы соседние части были покрашены в разные цвета.
б) Можно ли обойтись тремя цветами?
|
|
|
Решение |
Задача 32784 |
|
|
Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?
|
|
Решение |
Задача 32796 |
|
|
Когда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 188]
