Версия для печати
Убрать все задачи
Дана сфера
радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ
0, γ
1, ..., γ
n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ0 касается всех окружностей γ
1, ..., γ
n; кроме того, касаются друг друга окружности γ
1 и γ
2, γ
2 и γ
3, ..., γ
n и γ1. При каких
n это возможно? Вычислите соответствующий
радиус r.
Решение
Докажите, что система неравенств
|x| > |y – z + t|,
|y| > |x – z + t|,
|z| > |x – y + t|,
|t| > |x – y + z|
не имеет решений.
Решение
Докажите, что не существует графа без петель и кратных рёбер с пятью вершинами, степени которых равны 4, 4, 4, 4, 2.
Решение
Дан четырёхугольник;
A,
B,
C,
D — последовательные середины его
сторон,
P,
Q — середины диагоналей. Доказать, что треугольник
BCP равен
треугольнику
ADQ.
Решение
Мальвина испекла 30 пирожков и угощает ими Пьеро, Буратино, Артемона и Арлекина. Через некоторое время оказалось, что Буратино и Пьеро съели столько же, сколько Артемон и Арлекин, а Пьеро и Артемон – в 6 раз больше, чем Буратино и Арлекин. Какое количество пирожков съел каждый, если Арлекин съел меньше всех остальных? (Все съедали пирожки целиком, и каждый съел хотя бы один пирожок.)
Решение
Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 и 14.
Решение
Фильтр
