На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки P и Q так, что  ∠PXB = ∠QXC,  где X – середина основания BC.
Докажите, что  BQ = CP.

   Решение

Две окружности касаются внешним образом. Прямая, проведённая через точку касания, образует в окружностях хорды, одна из которых равна ¹³/₅ другой. Найдите радиусы окружностей, если расстояние между центрами равно 36.

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC сторона  AC = b,  стороны  BA = BC = a,  AM и CN – биссектрисы углов A и C. Найдите MN.

   Решение

Докажите, что значение любой периодической цепной дроби – квадратичная иррациональность.

   Решение

Шахматист сыграл в турнире 20 партий и набрал 12,5 очков. На сколько партий больше он выиграл, чем проиграл?

   Решение

Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.

   Решение

Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.

   Решение

Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?

   Решение

AD – биссектриса треугольника ABC. Точка M лежит на стороне AB, причём  AM = MD.  Докажите, что  MD || AC.

   Решение

Пусть     Чему равны P_n и Q_n?

   Решение

AA1 и CC1 – высоты остроугольного треугольника ABC . Прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников AA1C и CC1A пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках X и Y . Докажите, что BX=BY .

   Решение

В треугольнике ABC сторона  AB = 15  и  AC = 10,  AD – биссектриса угла A. Из точки D проведена прямая, параллельная AB, до пересечения с AC в точке E. Найдите AE, EC и DE.

   Решение

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведённая к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении  1 : 2.

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 6702]      

BK – биссектриса треугольника ABC. Известно, что  ∠AKB : ∠CKB = 4 : 5.  Найдите разность углов A и C треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.

Прислать комментарий

Решение

ABCD – прямоугольник, M – середина стороны BC. Известно, что прямые MA и MD взаимно перпендикулярны и что периметр прямоугольника ABCD равен 24. Найдите его стороны.

Прислать комментарий

Решение

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведённая к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении  1 : 2.

Прислать комментарий

Решение

Площадь равнобедренной трапеции равна 32. Котангенс угла между диагональю и основанием равен 2. Найдите высоту трапеции.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 6702]