На продолжениях гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC за точки A и B соответственно взяты точки K и M, причём  AK = AC  и  BM = BC.  Найдите угол MCK.

   Решение

Параллелограмм $ABCD$ разделён диагональю $BD$ на два равных треугольника. В треугольник $ABD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние стороны лежат на $AB$ и $AD$, а одна из вершин – на $BD$. В треугольник $CBD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние вершины лежат на $CB$ и $CD$, а одна из сторон – на $BD$. Какой из шестиугольников больше?

   Решение

Докажите, что для любого натурального n существует выпуклый многоугольник, имеющий ровно n осей симметрии.

   Решение

Треугольники ABC и ABD равны, причём точки C и D не совпадают. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой AB.

   Решение

Какое наибольшее число осей симметрии может иметь пространственная фигура, состоящая из трёх прямых, из которых никакие две не параллельны и не совпадают?

   Решение

Дан выпуклый многоугольник  A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ — точки B₂ и D₃ и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы  A₁B₁C₁D₁,..., A_nB_nC_nD_n, то прямые  A₁C₁,..., A_nC_n пересекутся в одной точке O. Докажите, что A₁B₁ ^. A₂B₂ ^. ... ^. A_nB_n = A₁D₁ ^. A₂D₂ ^. ... ^. A_nD_n.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что длина биссектрисы AD треугольника ABC равна  cos.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO, BO и CO пересекают его стороны в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а)  + + = 1;
б)  ^{. .} = 1.

Прислать комментарий

Решение

Даны (2n - 1)-угольник  A₁...A_{2n - 1} и точка O. Прямые A_kO и  A_{n + k - 1}A_{n + k} пересекаются в точке B_k. Докажите, что произведение отношений  A_{n + k - 1}B_k/A_{n + k}B_k(k = 1,..., n) равно 1.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый многоугольник  A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ — точки B₂ и D₃ и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы  A₁B₁C₁D₁,..., A_nB_nC_nD_n, то прямые  A₁C₁,..., A_nC_n пересекутся в одной точке O. Докажите, что A₁B₁ ^. A₂B₂ ^. ... ^. A_nB_n = A₁D₁ ^. A₂D₂ ^. ... ^. A_nD_n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]