Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 10. Неравенства для элементов треугольника >> параграф 12. Неравенства для остроугольных треугольников
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На плоскости дан многоугольник A1A2...An и точка O внутри его. Докажите, что равенства

$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$,    
 1$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_4}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$,    
to4.5cm $\displaystyle \dotfill$    
$\displaystyle \overrightarrow{OA_{n-1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_n}$.    

необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O — в его центр.

Вниз   Решение

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

ВверхВниз   Решение


Найдите объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной a, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом 60o.

ВверхВниз   Решение

Автор: Произволов В.В.

Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.

ВверхВниз   Решение

а) Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см?
б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы всё же изготовить требуемый каркас?

ВверхВниз   Решение

Автор: Фомин Д.

На плоскости дано N прямых  (N > 1),  никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие N, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.

ВверхВниз   Решение

Пусть $ \angle$A < $ \angle$B < $ \angle$C < 90o. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

  с решениями  

Задача 57493

Тема:   [ Неравенства для остроугольных треугольников ]
Сложность: 4+
Классы: 8

Докажите, что треугольник со сторонами a, b и c остроугольный тогда и только тогда, когда  a2 + b2 + c2 > 8R2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57494

Тема:   [ Неравенства для остроугольных треугольников ]
Сложность: 4+
Классы: 8

Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда p > 2R + r.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57495

Тема:   [ Неравенства для остроугольных треугольников ]
Сложность: 4+
Классы: 8

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда на его сторонах BC, CA и AB можно выбрать такие внутренние точки A1, B1 и C1, что  AA1 = BB1 = CC1.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57490

Тема:   [ Неравенства для остроугольных треугольников ]
Сложность: 5
Классы: 8

Пусть $ \angle$A < $ \angle$B < $ \angle$C < 90o. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57496

Тема:   [ Неравенства для остроугольных треугольников ]
Сложность: 5
Классы: 8

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .