Даны окружность S, точка P, расположенная вне S, и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N, является некоторая прямая, проходящая через K, из которой выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку, и эта точка лежит на l.

   Решение

Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
  а)  P(n) ≥ n – 3;
  б)  P(n) ≤ 2n – 7;
  в)  P(n) ≤ 2n – 10  при  n ≥ 13.

   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin² + sin² + sin² = (p² - r² - 4rR)/2R².
б)  4R²coscoscos = p² - (2R + r)².

   Решение

Пусть ABCDEF — описанный шестиугольник. Докажите, что его диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке (Брианшон).

   Решение

а) Даны прямая l и точка P вне ее. Циркулем и линейкой постройте на l отрезок XY данной длины, который виден из P под данным углом .
б) Даны две прямые l₁ и l₂ и точки P и Q, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l₁ точку X и на прямой l₂ точку Y так, что отрезок XY виден из точки P под данным углом , а из точки Q — под данным углом .

   Решение

Вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке D, а продолжений сторон AB и AC — в точках E и F. Пусть T — точка пересечения прямых BF и CE. Докажите, что точки A, D и T лежат на одной прямой.

   Решение

Найдите все положительные числа x₁, x₂, ..., x₁₀, удовлетворяющие при всех  k = 1, 2,..., 10  условию   (x₁ + ... + x_k)(x_k + ... + x₁₀) = 1.

   Решение

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ произведения противоположных сторон равны. Точка $B'$ симметрична $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $A$, $B'$, $D$, касается прямой $AC$.

   Решение

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
+ + = .

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin² + sin² + sin² = (p² - r² - 4rR)/2R².
б)  4R²coscoscos = p² - (2R + r)².

Прислать комментарий

Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
ab cos + bc cos + ca cos = (a² + b² + c²)/2.

Прислать комментарий

Решение

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
+ + = .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]