ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных четверками его соседних вершин.

   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 58141  (#22.012)

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).
Прислать комментарий     Решение


Задача 58078  (#22.013)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Теорема Хелли ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На плоскости дано n точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58143  (#22.014B)

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку O внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки O на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновременно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку O можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58144  (#22.014)

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных четверками его соседних вершин.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58145  (#22.015)

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .