Версия для печати
Убрать все задачи

---

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой на две части. Затем одну часть снова разрезал по прямой на две. Потом одну из получившихся частей опять разрезал на две части, и так далее, всего он резал бумагу сто раз. Потом Петя подсчитал суммарное количество вершин у всех получившихся многоугольников – получилось всего 302 вершины. Могло ли так быть?

   Решение

---

Докажите, что если  (a, b) = 1,  то наибольший общий делитель чисел  a + b  и  a² + b²  равен 1 или 2.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60508  (#03.056)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Докажите, что число  2²ⁿ – 1  имеет по крайней мере n различных простых делителей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60509  (#03.057)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что  p_n+1 ≤ 2²ⁿ + 1,  где p_n – n-е простое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60510  (#03.058)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите, что равенство  (a, mn) = 1  равносильно выполнению двух условий  (a, m) = 1  и  (a, n) = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60511  (#03.059)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите, что если  (a, b) = 1,  то  (2a + b, a(a + b)) = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60512  (#03.060)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите, что если  (a, b) = 1,  то наибольший общий делитель чисел  a + b  и  a² + b²  равен 1 или 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями