Версия для печати
Убрать все задачи

---

Стоимость проездного билета на месяц составляет 760 руб. А стоимость билета на одну поездку 22 руб. Аня купила проездной и сделала за месяц 44 поездок. Сколько рублей она сэкономила?

   Решение

---

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей?

(В 44-м Турнире городов задача предлагалась в эквивалентной формулировке: хорошие числа были названы заурядными)

   Решение

---

Для каких n число  n²⁰⁰¹ – n⁴  делится на 11?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60734  (#04.108)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Найдите такое n, чтобы число  10ⁿ – 1  делилось на  а) 7;  б) 13;  в) 91;  г) 819.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60735  (#04.109)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Докажите, что
  а)    делится на 13;
  б)    делится на 17.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60736  (#04.110)  [Малая теорема Ферма]

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда  a^p–1 ≡ 1 (mod p).
Докажите теорему Ферма, разлагая  (1 + 1 + ... + 1)^p  посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 60400).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60737  (#04.111)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число,  p ≠ 2, 5.  Докажите, что существует число вида 1...1, кратное p.
Придумайте два решения задачи: одно, использующее теорему Ферма (задача 60736), и второе – принцип Дирихле.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60738  (#04.112)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Для каких n число  n²⁰⁰¹ – n⁴  делится на 11?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями