Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos 2 + cos 2 + cos 2 + 4 coscoscos + 1 = 0;
б)  cos² + cos² + cos² + 2 coscoscos = 1.
в) cos 2 + cos 2 + cos 2 = - , где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

   Решение

---

Доказать: произведение
  а) двух нечётных чисел нечётно;
  б) чётного числа с любым целым числом чётно.

   Решение

---

Докажите, что если  (m, 30) = 1,  то число, состоящее из цифр периода дроби ¹/_m, делится на 9.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60881  (#05.043)

Тема:   [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть  (n, 10) = 1,  m < n,  (m, n) = 1,  и t – наименьшее число, при котором  10^t – 1  делится на n.
Докажите, что t кратно длине периода дроби ^m/_n.
Будет ли это длина периода?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60882  (#05.044)

Тема:   [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Репьюнитами называются числа     Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то частное  ^9E_n/_m,  записанное как n-значное число (возможно с нулями в начале), состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби ¹/_m. Кроме того, если еще выполнены условия  (m, 3) = 1  и E_n – первый репьюнит, делящийся на m, то число  ^9E_n/_m  будет совпадать с периодом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60883  (#05.045)

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Теорема Эйлера ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что если  (m, 30) = 1,  то число, состоящее из цифр периода дроби ¹/_m, делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60884  (#05.046)  [Эффект девяток]

Тема:   [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Периодом дроби ¹/₇ является число  N = 142857.  Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток
142 + 857 = 999).  Докажите в общем случае, что для простого  q > 5  и натурального  p < q  период дроби ^p/_q есть такое 2n-значное число  N = N₁N₂,  что  N₁ + N₂ = .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60885  (#05.047)

Тема:   [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

  Число  N = 142857  обладает и рядом других свойств. Например:  2·142857 = 285714,  3·142857 = 428571,  ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются;  14 + 28 + 57 = 99;  N² = 20408122449,  20408 + 122449 = 142857 = N.
  Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями