Что больше:  1234567·1234569  или  1234568²?

   Решение

Докажите, что  4⁷⁹ < 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ < 4⁸⁰.

   Решение

На прямых BC, CA и AB взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. Прямые, симметричные прямым AA₁, BB₁ и CC₁ относительно соответствующих биссектрис треугольника ABC, пересекают прямые BC, CA и AB в точках A₂, B₂ и C₂. Докажите, что точки A₂, B₂ и C₂ лежат на одной прямой.

   Решение

Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n² равна 100?

   Решение

Дано 10 натуральных чисел:  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀.  Доказать, что их наименьшее общее кратное не меньше 10a₁.

   Решение

В тридевятом царстве есть только два вида монет: 16 и 27 тугриков. Можно ли заплатить за одну тетрадку ценой в 1 тугрик и получить сдачу?

   Решение

Несколько Совершенно Секретных Объектов соединены подземной железной дорогой таким образом, что каждый Объект напрямую соединён не более чем с тремя другими и от каждого Объекта можно добраться под землей до любого другого, сделав не более одной пересадки. Каково максимальное число Совершенно Секретных Объектов?

   Решение

На стороне BC треугольника ABC взята точка A₁ так, что  BA₁ : A₁C = 2 : 1.  В каком отношении медиана CC₁ делит отрезок AA₁?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что  A₁C·BC = B₁C·AC.

   Решение

Построить треугольник по высоте и медиане, выходящим из одной вершины, и радиусу описанного круга.

   Решение

Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.

   Решение

В треугольник с основанием a и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах.
Найдите сторону квадрата.

   Решение

Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.

   Решение

Пусть число α задаётся десятичной дробью
  а) 0,101001000100001000001...;
  б) 0,123456789101112131415....
Будет ли это число рациональным?

   Решение

Касательные к описанной окружности неравнобедренного треугольника ABC в точках A, B и C пересекают продолжения сторон в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.=-1

   Решение

Что больше:  ^10...01/_10...01  (в записи числа в числителе – 1984 нуля, в знаменателе – 1985) или  ^10...01/_10...01  (в числителе – 1985 нулей, в знаменателе – 1986).

   Решение

В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

   Решение

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что  ∠ABM = ∠CBN.  Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что  AC' = A'C.

   Решение

На кубе отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?

   Решение

В пятиугольнике проведены все диагонали. Какие семь углов между двумя диагоналями или между диагоналями и сторонами надо отметить, чтобы из равенства этих углов друг другу следовало, что пятиугольник – правильный?

   Решение

В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз?

   Решение

Докажите, что число  1¹⁹⁹⁹ + 2¹⁹⁹⁹ + ... + 16¹⁹⁹⁹  делится на 17.

   Решение

Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

   Решение

В каждой клетке доски 8×8 написали по одному натуральному числу. Оказалось, что при любом разрезании доски на доминошки суммы чисел во всех доминошках будут разные. Может ли оказаться, что наибольшее записанное на доске число не больше 32?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

100 ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине некоторым (кому хочет) из остальных. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?

Прислать комментарий

Решение

В каждой клетке доски 8×8 написали по одному натуральному числу. Оказалось, что при любом разрезании доски на доминошки суммы чисел во всех доминошках будут разные. Может ли оказаться, что наибольшее записанное на доске число не больше 32?

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?

Прислать комментарий

Решение

Можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на две части и покрыть ими какой-нибудь круг диаметра больше 1?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]