Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.

   Решение

---

Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, точка $M$ – середина стороны $AC$. Прямая $BO$ пересекает высоты $AA_1$ и $CC_1$ в точках $H_a$ и $H_c$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BH_aA$ и $BH_cC$ вторично пересекаются в точке $K$. Докажите, что $K$ лежит на прямой $BM$.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66894  (#1)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Пятиугольники ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Невыпуклые многоугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

а) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой?

б) Тот же вопрос для невыпуклого пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66895  (#2)

Тема:   [ Взвешивания ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.)

б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66896  (#3)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

При каких натуральных $n$ найдутся $n$ последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) $n$ последовательных натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66897  (#4)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66898  (#5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, точка $M$ – середина стороны $AC$. Прямая $BO$ пересекает высоты $AA_1$ и $CC_1$ в точках $H_a$ и $H_c$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BH_aA$ и $BH_cC$ вторично пересекаются в точке $K$. Докажите, что $K$ лежит на прямой $BM$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями