Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 67459 (#1)

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?

Прислать комментарий Решение

Задача 67460 (#2)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Лисицын М.

Дана последовательность $a_n = n!\mkern2mu(n^2-2025n+1)$ для всех натуральных $n$. Найдите сумму первых $2025$ членов этой последовательности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67461 (#3)

Темы:	[	Параллельность прямых и плоскостей	]
	[	Объем тетраэдра и пирамиды	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Даны две треугольные пирамиды с общим основанием $ABC$. Их вершины $S$ и $R$ лежат по разные стороны от плоскости $ABC$. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.

Прислать комментарий Решение

Задача 67457 (#4)

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Теорема Эйлера	]
	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Волостнов А., Гришин С.

Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$ и такой многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого числа $p$ и любого натурального $k$?

Прислать комментарий Решение

Задача 67454 (#5)

Темы:	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Доледенок А.В.

Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $CBH$ пересекает отрезок $CH$ в точке $X$, биссектриса угла $BCH$ пересекает отрезок $BH$ в точке $Y$. Обозначим величину угла $XA_1Y$ через $\alpha$. Аналогично определим $\beta$ и $\gamma$. Найдите значение суммы $\alpha + \beta + \gamma$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]