Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
2025 год
>>
11 класс. Первый день
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее
количество ответов «да» могло быть получено?
Дана последовательность $a_n = n!\mkern2mu(n^2-2025n+1)$ для всех натуральных $n$. Найдите сумму первых $2025$ членов этой последовательности.
Даны две треугольные пирамиды с общим основанием $ABC$. Их вершины $S$ и $R$
лежат по разные стороны от плоскости $ABC$. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.
Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$ и такой многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого числа $p$ и любого натурального $k$?
Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $CBH$ пересекает отрезок $CH$ в точке $X$, биссектриса угла $BCH$ пересекает отрезок $BH$ в точке $Y$. Обозначим величину угла $XA_1Y$ через $\alpha$. Аналогично определим $\beta$ и $\gamma$. Найдите значение суммы $\alpha + \beta + \gamma$.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 67459 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67460 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67461 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67457 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67454 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
