Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
46 турнир (2024/2025 год)
>>
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что
= 
.
б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что
CAM = ABN
и
CBM = BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на
одной прямой.
Решение
Барон Мюнхгаузен утверждает, что существуют многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами и натуральные числа $m$ и $n$ со свойством: $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого $p$ и любого натурального $k$. Не ошибается ли барон? Решение
Убрать все задачи
Любознательный турист хочет прогуляться по улицам Старого города от вокзала (точка A на плане) до своего отеля (точка B). Турист хочет, чтобы его маршрут был как можно длиннее, но дважды оказываться на одном и том же перекрестке ему неинтересно, и он так не делает. Нарисуйте на плане самый длинный возможный маршрут и докажите, что более длинного нет.
Решениеа) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что
б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что
РешениеБарон Мюнхгаузен утверждает, что существуют многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами и натуральные числа $m$ и $n$ со свойством: $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого $p$ и любого натурального $k$. Не ошибается ли барон?
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]
Барон Мюнхгаузен утверждает, что существуют многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами и натуральные числа
$m$ и $n$ со свойством:
$f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого $p$ и любого натурального $k$.
Не ошибается ли барон?
Петя красит каждую клетку доски $2m\times 2n$ в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на доминошки (прямоугольники из двух клеток).
Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше двухцветных доминошек,
а Вася — к тому, чтобы их получилось как можно меньше.
Наличие какого наибольшего числа двухцветных доминошек может гарантировать Петя, как бы ни действовал Вася?
(Напомним, что граница многоугольника — замкнутая ломаная без самопересечений.)
Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]
Задача 67515 (#6) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67516 (#7) |
|
|
(Напомним, что граница многоугольника — замкнутая ломаная без самопересечений.)
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]
