Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

   Решение

---

На сторонах AB и BC треугольника ABC внешним образом построены параллелограммы; P — точка пересечения продолжений их сторон, параллельных AB и BC. На стороне AC построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и параллельна BP. Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух параллелограммов.

   Решение

---

Сумма n положительных чисел  x₁, x₂, x₃, ..., x_n  равна 1.
Пусть S – наибольшее из чисел  
Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях  x₁, x₂, ..., x_n  оно достигается?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73692  (#М157)

Темы:   [ Системы алгебраических неравенств ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Средние величины ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Сумма n положительных чисел  x₁, x₂, x₃, ..., x_n  равна 1.
Пусть S – наибольшее из чисел  
Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях  x₁, x₂, ..., x_n  оно достигается?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73693  (#М158)

Темы:   [ Доказательство от противного ] [ Обратный ход ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число a > 1, а далее под каждым числом k слева пишем число k² , а справа — число k + 1. Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.

Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья — из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73694  (#М159)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

Можно ли расставить цифры 0, 1 и 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером 100×100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике размером 3×4, стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73695  (#М160)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Метод спуска ] [ Линейная и полилинейная алгебра ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для каждой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями