Страница: 1 [Всего задач: 4]
Задача
73746
(#М211)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Дано n точек, n > 4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).
Задача
73747
(#М212)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено
14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из
них — фальшивые,
остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а
какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а
остальные — настоящие. Сможет ли он это сделать?
Задача
73749
(#М214)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней.
Докажите, что уравнение f(f(x)) = x также не имеет вещественных корней.
Задача
73750
(#М215)
|
|
Сложность: 7
Классы: 9,10,11
|
На бесконечном клетчатом листе белой бумаги
n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени
t = 1, 2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка
k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки
k и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то
k становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).
а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки.
б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.
Страница: 1 [Всего задач: 4]
Фильтр
Решение 
