Версия для печати
Убрать все задачи

---

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
  б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

   Решение

---

При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более  n – 1  врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

   Решение

---

Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10^k равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10^{k + 1}.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78125  (#1)

Темы:   [ Четырехугольники (построения) ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан четырёхугольник ABCD. Вписать в него прямоугольник с заданными направлениями сторон.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78126  (#2)

Темы:   [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Четность и нечетность ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78127  (#3)

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 11

Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78128  (#4)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10^k равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10^{k + 1}.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78129  (#5)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дано n целых чисел  a₁ = 1,  a₂, a₃, ..., a_n, причём   a_i ≤ a_i+1 ≤ 2a_i  (i = 1, 2,..., n – 1)  и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями