Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.

   Решение

Даны N синих и N красных палочек, причём сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить N-угольник, и из красных – тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю – в красный цвет, а красную – в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить N-угольник, и из красных – тоже? Решите задачу
  а) для  N = 3;
  б) для произвольного натурального  N > 3.

   Решение

В некотором множестве введена операция *, которая по каждым двум элементам a и b этого множества вычисляет некоторый элемент a*b этого множества. Известно, что: 1°. Для любых трех элементов a, b и c
          a*(b*c) = b*(c*a).
2°. Если a*b = a*c, то b = c.
3°. Если a*c = b*c, то a = b.

Докажите, что операция *
а) коммутативна, то есть для любых элементов a и b верно равенство a*b = b*a;
б) ассоциативна, то есть для любых элементов a, b и c верно равенство (a*b)*c = a*(b*c).

   Решение

Пусть M – середина хорды AB окружности с центром O. Точка K симметрична M относительно O, P – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к AB в точке A и перпендикуляр к PK в точке P пересекаются в точке Q. Точка H – проекция P на AB. Докажите, что прямая QB делит отрезок PH пополам.

   Решение

В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $I$, касающаяся сторон $CA$, $AB$ в точках $E$, $F$ соответственно. Точки $M$, $N$ на прямой $EF$ таковы, что $CM=CE$ и $BN=BF$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ делит пополам отрезок $MN$.

   Решение

Пусть I – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC. Через A₁ обозначим середину дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A, а через A₂ – середину дуги BAC. Перпендикуляр, опущенный из точки A₁ на прямую A₂I, пересекает прямую BC в точке A'. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой.
  б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой OI, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.

   Решение

На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45° вокруг любого из её концов.
Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом её концы поменялись местами?

   Решение

Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным углом  и площадью S наименьшую длину стороны BC имеет равнобедренный треугольник с основанием BC.

   Решение

Основание пирамиды Хеопса — квадрат, а её боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Буратино лазил наверх и измерил угол грани при вершине. Получилось 100^o. Может ли так быть?

   Решение

Высоты AD и BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Описанная окружность треугольника ABH, пересекает стороны AC и BC в точках F и G соответственно. Найдите FG, если  DE = 5 см.

   Решение

Известно, что некоторая точка M равноудалена от двух пересекающихся прямых m и n . Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость прямых m и n лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми m и n .

   Решение

Имеется натуральное число  n > 1970.  Возьмём остатки от деления числа 2ⁿ на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      

Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что если натуральное число k делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

Прислать комментарий

Решение

Имеется натуральное число  n > 1970.  Возьмём остатки от деления числа 2ⁿ на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]