Версия для печати
Убрать все задачи
Пусть a, b, m, n – натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и a > 1.
Докажите, что если am + bm делится на an + bn, то m делится на n.
Решение
а) Докажите, что существует единственное аффинное
преобразование, которое переводит данную точку O в данную
точку O', а данный базис векторов
e1,
e2 —
в данный базис
e1',
e2'.
б) Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Докажите,
что существует единственное аффинное преобразование, переводящее
точку A в A1, B — в B1, C — в C1.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует
единственное аффинное преобразование, которое один из них
переводит в другой.
Решение
Пусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная около сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$; аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.
Решение
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH = OAC.
Решение
Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.
а) Какая последняя цифра этого числа?
б) Каковы десять последних цифр этого числа?
Решение
Петя
написал на
доске верное
равенство:
35+10-41=42+12-50, а затем
вычел из
обеих частей
по 4: 35+10-45=42+12-54.
Он заметил,
что в левой
части
равенства
все числа
делятся на 5, а
в правой - на 6.
Тогда он
вынес в левой
части 5 за
скобки, а в
правой - 6 и
получил 5(7+2-9)=6(7+2-9).
Сократив обе
части на
общий
множитель,
Петя получил,
что 5=6. Где он
ошибся?
Решение
Фильтр
