Можно ли замостить все пространство равными тетраэдрами, все грани которых — прямоугольные треугольники?

   Решение

Угол в развёртке боковой поверхности конуса равен 120^o . Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

   Решение

а) Поросенок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы.
б) А может ли Наф-Наф добиться, чтобы при этом каждые два квадрата граничили друг с другом?

   Решение

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

   Решение

Угол в развёртке боковой поверхности конуса равен 90^o . Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

   Решение

Hа сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены правильные треугольники ABC₁, BCA₁, CAB₁. Hа отрезке A₁B₁ во внешнюю сторону треугольника A₁B₁C₁ построен правильный треугольник A₁B₁C₂. Докажите, что C – середина отрезка C₁C₂.

   Решение

Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид  Azz + Bz – B z + C = 0.  Пусть образ этой линии при отображении    задается уравнением  A'zz + B'z – B' z + C' = 0,  где A' и C' также чисто мнимые числа. Выразите A', B' и C' через A, B и C.

   Решение

Точки a₁, a₂ и a₃ расположены на единичной окружности  zz = 1.
Докажите, что точка  h = a₁ + a₂ + a₃  является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a₁, a₂ и a₃.

   Решение

Пусть u – точка на единичной окружности  z = 1  и u₁, u₂, u₃ – основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a₂a₃, a₁a₃, a₁a₂ вписанного в эту окружностьтреугольника a₁a₂a₃.
  а) Докажите, что числа u₁, u₂, u₃ вычисляются по формулам

  б) Докажите, что точки u₁, u₂, u₃ лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что все корни уравнения  a(z – b)ⁿ = c(z – d )ⁿ, где a, b, c, d – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.

   Решение

Двойным отношением четырёх комплесных чисел называется число     (см. задачу 61180). Пусть w₁, w₂, w₃, w₄ – четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение    переводит данные четыре точки z₁, z₂, z₃, z₄. Докажите, что
W(w₁, w₂, w₃, w₄) = W(z₁, z₂, z₃, z₄).

   Решение

Все считали, что Дракон был однооким, двуухим, треххвостым, четырехлапым и пятииглым. На самом деле, только четыре из этих определений выстраиваются в определенную закономерность, а одно — лишнее. Какое?

   Решение

Семь девяток выписали подряд: 9 9 9 9 9 9 9. Поставьте между некоторыми из них знаки «+» или «−», чтобы получившееся выражение равнялось 1989.

   Решение

Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

   Решение

Эта старинная задача была известна еще в Древнем Риме.
Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребенка. После смерти сенатора выяснилось, что на свое имущество, равное 210 талантам, он составил следующее завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику две трети состояния (т. е. 140 талантов), а остальную треть (т.е. 70 талантов) — матери; в случае же рождения дочери отдать девочке одну треть состояния (т. е. 70 талантов), а остальные две трети (т. е. 140 талантов) — матери».
У вдовы сенатора родились близнецы — мальчик и девочка. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить имущество между тремя наследниками с наилучшим приближением к условию завещания?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

Все считали, что Дракон был однооким, двуухим, треххвостым, четырехлапым и пятииглым. На самом деле, только четыре из этих определений выстраиваются в определенную закономерность, а одно — лишнее. Какое?

Прислать комментарий

Решение

На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

Прислать комментарий

Решение

Эта старинная задача была известна еще в Древнем Риме.
Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребенка. После смерти сенатора выяснилось, что на свое имущество, равное 210 талантам, он составил следующее завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику две трети состояния (т. е. 140 талантов), а остальную треть (т.е. 70 талантов) — матери; в случае же рождения дочери отдать девочке одну треть состояния (т. е. 70 талантов), а остальные две трети (т. е. 140 талантов) — матери».
У вдовы сенатора родились близнецы — мальчик и девочка. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить имущество между тремя наследниками с наилучшим приближением к условию завещания?

Прислать комментарий

Решение

Семь девяток выписали подряд: 9 9 9 9 9 9 9. Поставьте между некоторыми из них знаки «+» или «−», чтобы получившееся выражение равнялось 1989.

Прислать комментарий

Решение

Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]