ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      



Задача 56972

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 6
Классы: 9

Пусть P — точка Брокара треугольника ABCR1, R2 и R3 — радиусы описанных окружностей треугольников ABP, BCP и CAP. Докажите, что  R1R2R3 = R3, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56973

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 6
Классы: 9

Пусть P и Q — первая и вторая точки Брокара треугольника ABC. Прямые CP и BQAP и CQBP и AQ пересекаются в точках A1, B1 и C1. Докажите, что описанная окружность треугольника A1B1C1 проходит через точки P и Q.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56974

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 7
Классы: 9

На сторонах CA, AB и BC остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что  $ \angle$AB1A1 = $ \angle$BC1B1 = $ \angle$CA1C1. Докажите, что  $ \triangle$A1B1C1 $ \sim$ $ \triangle$ABC, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой Брокара обоих треугольников.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56977

 [Оружности Схоуте]
Темы:   [ Точки Брокара ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Опустим из точки M перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A1B1C1 имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее (окружности Схоуте).
Прислать комментарий     Решение


Задача 56975

Темы:   [ Точки Брокара ]
[ Выпуклость и вогнутость ]
Сложность: 7+
Классы: 10,11

Докажите, что для угла Брокара $ \varphi$ выполняются следующие неравенства:
а) $ \varphi^{3}_{}$$ \le$($ \alpha$ - $ \varphi$)($ \beta$ - $ \varphi$)($ \gamma$ - $ \varphi$);
б) 8$ \varphi^{3}_{}$$ \le$$ \alpha$$ \beta$$ \gamma$ (неравенство Йиффа).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .