Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 173]

Задача 78707 (#03.092)

Тема:

[

Количество и сумма делителей числа

]

Сложность: 3
Классы: 8

Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что a + b + ... + k = s + t + ... + z и ¹/_a + ¹/_b + ... + ¹/_k = ¹/_s + ¹/_t + ... + ¹/_z.
Доказать, что m = n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60545 (#03.093)

Тема:

[

Количество и сумма делителей числа

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Пусть (m, n) > 1. Что больше τ(mn) или τ(m)τ(n)? Исследуйте тот же вопрос для функции σ(n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60546 (#03.094)

[Совершенные числа]

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
Темы:	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Число n называется совершенным, если σ(n) = 2n.
Докажите, что если 2^k – 1 = p – некоторое простое число Мерсенна, то n = 2^k–1(2^k – 1) – совершенное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60547 (#03.095)

[Теорема Эйлера]

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
Темы:	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид n = 2^k–1(2^k – 1), и p = 2^k – 1 – простое число Мерсенна.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60548 (#03.096)

[Дружественные числа]

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если σ(m) – m = n и σ(n) – n = m.
Докажите, что если все три числа p = 3·2^k–1 – 1, q = 3·2^k – 1 и r = 9·2^2k–1 – 1 – простые, то числа m = 2^kpq и n = 2^kr – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 173]