Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 281 282 283 284 285 286 287 >> [Всего задач: 4557]

Задача 60320

[Золотая цепочка]

Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?

б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60322

Тема:

[

Математическая логика (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Гениальные математики. а) Каждому из двух гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: "Известно ли тебе мое число?" Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит "да". Сколько вопросов они зададут друг другу? (Математики предполагаются правдивыми и бессмертными.)
б) Как изменится число заданных вопросов, если с самого начала известно, что данные числа не превосходят 1000?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60323

Темы:	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

Прислать комментарий Решение

Задача 60328

Темы:	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Сумма углов n-угольника. Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике равна (n - 2) $\pi$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 60329

Темы:	[	Раскраски	]
Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Клетки шахматной доски 100×100 раскрашены в 4 цвета так, что в любом квадрате 2×2 все клетки разного цвета. Докажите, что угловые клетки раскрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 281 282 283 284 285 286 287 >> [Всего задач: 4557]