Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]

Задача 108225 (#05.5.10.6)

Темы:	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Акопян А.В.

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109828 (#05.5.10.7)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Сендеров В.А.

Натуральные числа x и y таковы, что 2x² – 1 = y¹⁵. Докажите, что если x > 1, то x делится на 5.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109829 (#05.5.10.8)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Степень вершины	]
	[	Перестройки	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Глебов А., Фон-дер-Флаас Д.

На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]