ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 328]      



Задача 97933

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Имеется много кубиков одинакового размера, раскрашенных в шесть цветов. При этом каждый кубик раскрашен во все шесть цветов, каждая грань – в какой-нибудь один свой цвет, но расположение цветов на разных кубиках может быть различным. Кубики выложены на стол, так что получился прямоугольник. Разрешается взять любой столбец этого прямоугольника, повернуть его вокруг длинной оси и положить на место. То же самое разрешается делать и со строками. Всегда ли можно с помощью таких операций добиться того, что все кубики будут смотреть вверх гранями одного и того же цвета?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98176

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Рассматривается числовой треугольник:

(первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один элемент. Найдите его.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98200

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно:   12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?
Прислать комментарий     Решение


Задача 98473

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите неравенство     при любых натуральных n и k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109727

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На доску последовательно выписываются числа  a1 = 1,  a2, a3, ... по следующим правилам: an+1 = an – 2,  если число  an – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  an+1 = an + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 328]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .