Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

   Решение

---

Даны целые числа a, b и c,  c ≠ b.  Известно, что квадратные трёхчлены  ax² + bx + c  и  (c – b)x² + (c – a)x + (a + b)  имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что  a + b + 2c  делится на 3.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109528

Темы:   [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Теория игр (прочее) ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110066

Темы:   [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Даны целые числа a, b и c,  c ≠ b.  Известно, что квадратные трёхчлены  ax² + bx + c  и  (c – b)x² + (c – a)x + (a + b)  имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что  a + b + 2c  делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78126

Темы:   [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Четность и нечетность ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86508

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Решая задачу:   "Какое значение принимает выражение  x²⁰⁰⁰ + x¹⁹⁹⁹ + x¹⁹⁹⁸ + 1000x¹⁰⁰⁰ + 1000x⁹⁹⁹ + 1000x⁹⁹⁸ + 2000x³ + 2000x² + 2000x + 3000
(x – действительное число), если  x² + x + 1 = 0?",  Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35641

Темы:   [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Существуют ли три различных действительных числа, каждое из которых в сумме с произведением двух оставшихся дает одно и то же число?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями